彭罗斯在牛津大学担任劳斯·保尔数学教授，他在那里发现了几个强制产生非周期性铺陈的小型镶嵌片集合，它们不是正方形类型的。尽管他的大部分工作都是关于相对论和量子力学的，不过他对于趣味数学也保持着活跃的兴趣。他与他的父亲、遗传学家、已故的l.s.彭罗斯（l.rose）分享这方面的乐趣（他们是著名的“彭罗斯阶梯”的发明者，这条阶梯周而复始地兜圈子却不通往更高处。埃舍尔在他的版画《上升与下降》中描绘了这条阶梯。）1973年，彭罗斯发现了一组六片强制产生非周期性铺陈的镶嵌片。1974年，他发现了一种将它们减少为四片的方法。此后不久，他又将它们减少到两片。
由于这些嵌片适用于制成商业游戏拼图，彭罗斯直到申请了英国、美国和日本的专利后，才愿意将它们公开。这些专利现今仍然有效。我对于康韦研究彭罗斯铺陈而获得的许多结果同样不胜感激。
一对彭罗斯镶嵌片的形状是可以变化的，但是其中称为“飞镖”和“风筝的那一对最有趣，这是康韦给它们起的名称。图1.6（a）中显示了如何由一个内角为72度和108度的菱形来获得这两个形状。将长对角线按照我们熟悉的黄比例（1＋√5）/2＝1.61803398…分割，【小编注：中国人一般取黄金分割比为（√5-1）/2＝0.618…，外国人一般取（1＋√5）/2＝1.618…，两者实为互为倒数，只是比的顺序不同。】然后将该点与两个钝角顶点相连。就这么简单。用φ表示黄金比例。如图所示，每条线段不是1就是φ。最小的角度是36度，其他角度都是它的倍数。
这个菱形当然能周期性铺陈，不过我们不允许用这种方式来拼接这些镶嵌片。要禁止将相等长度的边拼接在一起，这可以通过凸起和凹陷的形状来强制实现，不过还有一些比较简单的方法。例如，我们可以按照图1.6（b）中所示将各顶点标注为h（“头”的英文head的首字母）和t（“尾”的英文tail的首字母），然后给出规则：在拼装边缘时，仅具有相同字母的顶点可以相合。可以在各个顶点处放置两种颜色的点来帮助确认此规则，不过康韦提出了一种更加优美的方法，在每片镶嵌片上画两种颜色的圆弧，在插图中用黑色和灰色来表示。每条弧都以黄金比例切割边和对称轴。我们的规则是，相邻的边必须连接相同颜色的圆弧。
为了充分理解彭罗斯铺陈的美和神秘，我们应该至少制作100片风筝和60片飞镖。这些镶嵌片只需要一面着色。这两种镶嵌片数量（同它们的面积一样）符合黄金比例。你也许会设想你需要较多小一些的飞镖，但是实际情况却与此相反。你需要的风等片数量是飞镖的1.618…倍。在无限铺陈的情况下，这个比例是精确的。由于这个比例是无理数，其潜在的结果就构成了彭罗斯的个证明：该铺陈是非周期性的，因为如果它是周期性的，那么这个比例显然就会是一个有理数。
一个很好的计划是：在一张纸上画尽可能多的飞镖和风筝，并且使其比例大约为五片风筝比三片飞镖，用一根细线来画出这些曲线。可以将这张纸复印许多次。然后可以将这些曲线着色，比如说用红色和绿色的毡尖笔。康韦发现，如果你将图1.6（c）中所示的这三个较大的形状复印许多次，那么就会加速构造过程，并且保持图案更加稳定。在你扩展一种图案的时候，你可以不断地用a尖和领结来取代飞镖和风筝。事实上，由飞镖和风筝构成的任意多对这样的形状对将可以铺陈出任何无穷无尽的图案。
有一种彭罗斯图案的构成方式是，先在一个顶点周围铺陈飞镖和风筝，然后再放射性地向外扩张。每次你在边缘增加一片，你就必须在飞镖和风筝之间作出选择。有时候这种选择是被迫的，有时候则不是。有时候两种都合适，但是稍后你可能会遭遇到一种与之相抵触的情况（在该点处，哪一片都不能合乎规则地添加上去），于是被迫回来作出另一种选择。绕着一条边界前进，首先放置所有别无选择的镶嵌片，这是一个很好的打算。它们不可能导致抵触的情况。然后你可以用那些有选择余地的镶嵌片来进行尝试。总有可能一直进行下去。你越是摆弄这些镶嵌片，就会愈加体验到那些提高效率的“强迫法则”。例如，一片飞镖在其凹处必须放置两片风筝，于是就创造出了无所不在的a尖。
有许多方法来证明彭罗斯铺陈的数量不可数，正如一条直线上有不可数个点一样。这些证明都依据彭罗斯发现的一种令人惊奇的现象。康韦把它称之为“膨胀”和“收缩”。图1.7中显示了膨胀的开始。试想把每片飞镖都切割成两半，然后再把原来的短边都黏合在一起。其结果是一种由更大的飞镖和风筝构成的新的铺陈方式（用黑色粗线表示）。
膨胀可以延续至无穷，其中每一“代”新的镶嵌片都比上一代要大。请注意第二代的风等虽然与第一代的a尖具有相同的大小和形状，但是其构成方式不同。出于这个原因，a尖也被称为傻瓜的风筝。绝不可把它错认为是第二代风筝。收缩就是将同样的进程逆向进行。在每一种彭罗斯铺陈上，我们都能画出一代一代越来越小的飞镖和风等。这种模式也可延续至无穷，从而创造出个分形（参见原书第3章）的结构。
康韦对彭罗斯的图案不可数的证明（彭罗斯早先曾用一种不同的方法证明过）可以作如下概述。在风筝对称轴的一边标注l（“左”的英文left的首字母），另一边标注r（“右”的英文right的首字母）。在飞镖上也如此操作，用l和r进行标注。然后在铺陈图案上随机选择一点。记录下表示它在镶嵌片上位置的那个字母。将这个图案膨胀一步，注意同一个点在第二代镶嵌片上的位置，并再次记录下那个字母。持续进行更高阶的膨胀，你就会创造出一个符号的无限序列，这个序列，可以说，独一无二地标记了从选择的那一点看到的原始图案。
在原始的图案上选择另一点这个过程可能会给出一个开头不同的序列不过它会到达一个字母，在这个字母之后直至无穷，它都会与前一个序列一致。如果不存在这样在某一个特定点之后的一致性，那么这两个序列所标识的就是截然不同的图案。由这四个符号构成的所有可能的序列并不都能通过这个方式产生，不过可以证明，标记不同图案的序列在数量上与一条线上的点的数量对应。
我们忽略了那些铺陈图案中的着色曲线，这是因为它们对观察这些镶嵌片造成了困难。不过，如果你用着色的镶嵌片来研究的话，你就会为这些曲线所创造出的各种美丽图样然心动。彭罗斯和康韦分别独立地证明：每当一条曲线闭合时，它就具有五轴对称性，并目这条曲线内部的整个区域都具有五重对称性。在一种图案中，对每种颜色而言，至多只能有两条曲线不闭合。在大多数图案中，所有曲线都闭合。
尽管我们有可能构造出一些具有高阶对称性的彭罗斯图案（有无穷多种图案都具有双侧对称性），但是大多数图案，都如同宇宙一样，是由有序和出乎意料地偏离有序所构成的一种神秘莫测的混合体。随着这些图案的扩张，它们似乎总是尽力重复自身，却又总是不能很好地做到这一点。切斯特顿曾经提出过，如果有一个外星人在观察人体上有多少特征是左右重复的，那么他就会合理地推断我们的身体两边各有一颗心脏。他说道，这个世界“看起来比实际情况恰好更数学一点、更有规律一点；它的精确性是显而易见的，但不精确性则隐置其中；其放荡不羁潜伏以待。”到处都存在着“对精确性少许悄无声息的背离，这是事物中恒有的一种怪异的要素……宇宙中一种隐秘的叛逆。”这段话很好地描述了彭罗斯的平面世界。
由于这些嵌片适用于制成商业游戏拼图，彭罗斯直到申请了英国、美国和日本的专利后，才愿意将它们公开。这些专利现今仍然有效。我对于康韦研究彭罗斯铺陈而获得的许多结果同样不胜感激。
一对彭罗斯镶嵌片的形状是可以变化的，但是其中称为“飞镖”和“风筝的那一对最有趣，这是康韦给它们起的名称。图1.6（a）中显示了如何由一个内角为72度和108度的菱形来获得这两个形状。将长对角线按照我们熟悉的黄比例（1＋√5）/2＝1.61803398…分割，【小编注：中国人一般取黄金分割比为（√5-1）/2＝0.618…，外国人一般取（1＋√5）/2＝1.618…，两者实为互为倒数，只是比的顺序不同。】然后将该点与两个钝角顶点相连。就这么简单。用φ表示黄金比例。如图所示，每条线段不是1就是φ。最小的角度是36度，其他角度都是它的倍数。
这个菱形当然能周期性铺陈，不过我们不允许用这种方式来拼接这些镶嵌片。要禁止将相等长度的边拼接在一起，这可以通过凸起和凹陷的形状来强制实现，不过还有一些比较简单的方法。例如，我们可以按照图1.6（b）中所示将各顶点标注为h（“头”的英文head的首字母）和t（“尾”的英文tail的首字母），然后给出规则：在拼装边缘时，仅具有相同字母的顶点可以相合。可以在各个顶点处放置两种颜色的点来帮助确认此规则，不过康韦提出了一种更加优美的方法，在每片镶嵌片上画两种颜色的圆弧，在插图中用黑色和灰色来表示。每条弧都以黄金比例切割边和对称轴。我们的规则是，相邻的边必须连接相同颜色的圆弧。
为了充分理解彭罗斯铺陈的美和神秘，我们应该至少制作100片风筝和60片飞镖。这些镶嵌片只需要一面着色。这两种镶嵌片数量（同它们的面积一样）符合黄金比例。你也许会设想你需要较多小一些的飞镖，但是实际情况却与此相反。你需要的风等片数量是飞镖的1.618…倍。在无限铺陈的情况下，这个比例是精确的。由于这个比例是无理数，其潜在的结果就构成了彭罗斯的个证明：该铺陈是非周期性的，因为如果它是周期性的，那么这个比例显然就会是一个有理数。
一个很好的计划是：在一张纸上画尽可能多的飞镖和风筝，并且使其比例大约为五片风筝比三片飞镖，用一根细线来画出这些曲线。可以将这张纸复印许多次。然后可以将这些曲线着色，比如说用红色和绿色的毡尖笔。康韦发现，如果你将图1.6（c）中所示的这三个较大的形状复印许多次，那么就会加速构造过程，并且保持图案更加稳定。在你扩展一种图案的时候，你可以不断地用a尖和领结来取代飞镖和风筝。事实上，由飞镖和风筝构成的任意多对这样的形状对将可以铺陈出任何无穷无尽的图案。
有一种彭罗斯图案的构成方式是，先在一个顶点周围铺陈飞镖和风筝，然后再放射性地向外扩张。每次你在边缘增加一片，你就必须在飞镖和风筝之间作出选择。有时候这种选择是被迫的，有时候则不是。有时候两种都合适，但是稍后你可能会遭遇到一种与之相抵触的情况（在该点处，哪一片都不能合乎规则地添加上去），于是被迫回来作出另一种选择。绕着一条边界前进，首先放置所有别无选择的镶嵌片，这是一个很好的打算。它们不可能导致抵触的情况。然后你可以用那些有选择余地的镶嵌片来进行尝试。总有可能一直进行下去。你越是摆弄这些镶嵌片，就会愈加体验到那些提高效率的“强迫法则”。例如，一片飞镖在其凹处必须放置两片风筝，于是就创造出了无所不在的a尖。
有许多方法来证明彭罗斯铺陈的数量不可数，正如一条直线上有不可数个点一样。这些证明都依据彭罗斯发现的一种令人惊奇的现象。康韦把它称之为“膨胀”和“收缩”。图1.7中显示了膨胀的开始。试想把每片飞镖都切割成两半，然后再把原来的短边都黏合在一起。其结果是一种由更大的飞镖和风筝构成的新的铺陈方式（用黑色粗线表示）。
膨胀可以延续至无穷，其中每一“代”新的镶嵌片都比上一代要大。请注意第二代的风等虽然与第一代的a尖具有相同的大小和形状，但是其构成方式不同。出于这个原因，a尖也被称为傻瓜的风筝。绝不可把它错认为是第二代风筝。收缩就是将同样的进程逆向进行。在每一种彭罗斯铺陈上，我们都能画出一代一代越来越小的飞镖和风等。这种模式也可延续至无穷，从而创造出个分形（参见原书第3章）的结构。
康韦对彭罗斯的图案不可数的证明（彭罗斯早先曾用一种不同的方法证明过）可以作如下概述。在风筝对称轴的一边标注l（“左”的英文left的首字母），另一边标注r（“右”的英文right的首字母）。在飞镖上也如此操作，用l和r进行标注。然后在铺陈图案上随机选择一点。记录下表示它在镶嵌片上位置的那个字母。将这个图案膨胀一步，注意同一个点在第二代镶嵌片上的位置，并再次记录下那个字母。持续进行更高阶的膨胀，你就会创造出一个符号的无限序列，这个序列，可以说，独一无二地标记了从选择的那一点看到的原始图案。
在原始的图案上选择另一点这个过程可能会给出一个开头不同的序列不过它会到达一个字母，在这个字母之后直至无穷，它都会与前一个序列一致。如果不存在这样在某一个特定点之后的一致性，那么这两个序列所标识的就是截然不同的图案。由这四个符号构成的所有可能的序列并不都能通过这个方式产生，不过可以证明，标记不同图案的序列在数量上与一条线上的点的数量对应。
我们忽略了那些铺陈图案中的着色曲线，这是因为它们对观察这些镶嵌片造成了困难。不过，如果你用着色的镶嵌片来研究的话，你就会为这些曲线所创造出的各种美丽图样然心动。彭罗斯和康韦分别独立地证明：每当一条曲线闭合时，它就具有五轴对称性，并目这条曲线内部的整个区域都具有五重对称性。在一种图案中，对每种颜色而言，至多只能有两条曲线不闭合。在大多数图案中，所有曲线都闭合。
尽管我们有可能构造出一些具有高阶对称性的彭罗斯图案（有无穷多种图案都具有双侧对称性），但是大多数图案，都如同宇宙一样，是由有序和出乎意料地偏离有序所构成的一种神秘莫测的混合体。随着这些图案的扩张，它们似乎总是尽力重复自身，却又总是不能很好地做到这一点。切斯特顿曾经提出过，如果有一个外星人在观察人体上有多少特征是左右重复的，那么他就会合理地推断我们的身体两边各有一颗心脏。他说道，这个世界“看起来比实际情况恰好更数学一点、更有规律一点；它的精确性是显而易见的，但不精确性则隐置其中；其放荡不羁潜伏以待。”到处都存在着“对精确性少许悄无声息的背离，这是事物中恒有的一种怪异的要素……宇宙中一种隐秘的叛逆。”这段话很好地描述了彭罗斯的平面世界。