夏影飞终于回过神来,他注意到老师在黑板上写下一个等式:1/3 1/3 1/3=1。
现在是复习时间吗?夏影飞心里喜滋滋:这种简单的等式难不倒我,早八百年就学过了!
只见老师微微一笑,对孩子和蔼道:“大家谁知道,这个等式对不对?”
也许是为了弥补之前走神的愧疚,夏影飞高高举起手。获得老师的允许后,他站起身来,面带不屑道:“这也太简单了吧,答案当然是——对!”
球魂心里一紧,他觉得夏影飞太急于表现自己,导致态度有些傲慢,这恐怕会引起老师的不悦,也会让其他同学觉得盛气凌人。
“回答正确,请坐。”老师笑道,并未生气,只是眼角平淡如水。
球魂虽然看到老师笑了,但总觉得哪里不对劲。
老师又问其他同学:“谁能告诉我,1/3用小数怎么表示?”
这问题对夏影飞毫无难度,所以他继续举手,但老师这次没叫他,而是让另一个女同学回答。
女同学认真道:“0.3循环。”
老师又问:“那3个0.3循环相加等于多少?”
女同学不假思索:“0.9循环。”
“回答正确。”老师示意她坐下,然后古怪一笑:“接下来,就是有趣的地方了。”
老师一边说,一边把等式改成“1/3 1/3 3/1=0.3循环 0.3循环 0.3循环=0.9循环=1”。
她还没说话,聪明的孩子就已经发出了惊异之声。
老师环视众人,在“0.9循环=1”下面重重地划了道横线:“谁能告诉我,这个等式对不对?”
球魂糊涂了:0.9循环应该比1小啊,所以等式不对。但整个计算过程看上去又没错,所以0.9循环貌似又应该等于1,这样说来等式又是对的。
这这这……这也太奇怪了吧!
夏影飞同样糊涂,他一边盯着黑板,一边默默念叨:系统出bug了吧,我果然是在虚拟世界里……
面对一群懵逼的孩子,老师连忙解释:“今天我摆出这道题,只是想拓展一下大家的思路,考试中并不会出现。事实上,用极限和级数的知识才能解决这个看似简单的问题,但你们还没学过那些知识,所以无从着手……”
经过老师的提醒,数学课代表似乎想起了什么,只见他举起了手。
在老师的允许下,课代表站了起来,自信满满道:“补习班教过极限,我记得0.9循环无限逼近1,但并不等于1,所以等式是错的。”
老师不置可否,只是指着黑板上的等式:“0.9循环无限逼近1,但并不等于1,你的这句话只是结论,并不是推导过程。只有推导过程严密,结论才有说服力,你能再细化一下推导过程吗?”
课代表挠挠头:“推导过程……”然后他摊摊手:“我不会。”
老师示意他座下,之后对众人道:“大家可以踊跃发言拓展思路,错了不要紧。”
受到鼓励,孩子们都纷纷举手,无一例外都认为0.9循环小于1,但又无法做出合理的解释,更不能细化推导过程。
球魂也在思考,但他思考的是老师之前的那句话“推导过程严密,结论才有说服力”。
貌似,这句话可以扩展到任意事情上!
结论相当于任何一个大目标,推导过程就是达到大目标的小步骤。
把一个复杂的大目标分解成多个小步骤,直到每个小步骤都很简单。如此一来,只要保证每个小步骤都正确,就一定可以实现大目标,而实现小步骤要简单得多!
换句话说,任意复杂目标都是可以实现的,只要学会分解!
怪不得有句古话:“世上无难事,只怕有心人”!
这句话简直是真理好吧!
球魂兴奋不已,几乎没注意夏影飞的心理活动。
夏影飞也在认真思考:推导过程严密,结论才有说服力,现在从左到右的等式相当于推导——虽然不是老师要的过程。这个过程很严密,所以结论肯定是对的,所以0.9循环肯定等于1!
但……0.9循环为什么会等于1呢?
看上去不等啊!
也许是因为直觉上不等,但实际上相等?
人的直觉有可能出错吗?
喂喂喂……我才11岁啊,怎么可能知道这种复杂的事情啊!
哎呀又想偏了……回来回来!回到这道题上来!
0.9循环=1……
让我想想,假设0.9循环小于1,那会发生什么情况呢……
咦!
咦咦咦咦!
夏影飞兴奋地举起了手。
老师让他起来回答,虽然笑着,但并未抱太大希望。
夏影飞兴奋道:“老师,如果0.9循环小于1的话,那就说明这两个数之间可以插入一个中间值,对不对?”
老师愣了一下,才斟字酌句道:“在有理数体系下的话……嗯,你说的没错。”
比如0.9和1之间可以插入0.91或0.99,而0.99和1之间有0.999,继续下去的话,可以发现0.999和1之间有0.9999,可以无限找下去。
只要是两个不同的有理数,就一定能找到中间值,使之介于两个数之间!
如果0.9循环小于1,那就说明0.9循环和1是两个不同的数,那就说明0.9循环和1之间可以插入一个中间值——这是个很严密的推导过程!
听到老师肯定的回答,夏影飞得意道:“既然您说有中间值,那有本事您找一个呀!”
孩子们大笑起来,老师的表情也有点尴尬,幸亏她早已领教过夏影飞的套路,所以并未生气。
礼貌!礼貌!我的礼貌!球魂连忙提醒他,当然是以心声的形式提醒。为了混淆身份,他还特意用了“我”这个词。
夏影飞心里一紧,连忙改口道:“对不起老师我有点不礼貌,呃……我的意思是假设0.9循环小于1,那就一定可以找到两者之间的中间值。”
老师多看了夏影飞一眼:“你会注意礼貌问题,说明你长大了啊……对了,你后面说什么来着?”
喂,后面才是重点好吧!夏影飞本想吐槽,但想到这种搞笑的话适合私下而不是课堂,所以连忙刹住车,又表情严肃道:“我发现0.9循环和1之间没有中间值……”
“等等!”老师皱眉道:“你说0.9循环和1之间没有中间值?让我想想啊……”
0.9循环和1之间有中间值吗?嗯,好像真没有!老师虽然不甘心,但也只能点点头:“的确没有中间值,所以……”他似乎想起了什么:“0.9循环和1之间没有中间值,那就说明这两个数相等!”
“对!”夏影飞道:“任意两个数的关系,只可能有三种:大于、小于、等于。如果0.9循环比1小,那就应该有个中间值,现在没有中间值,那就说明0.9循环不会比1小,也就说明0.9循环要么等于1,要么大于1。”
夏影飞想了想,又彬彬有礼补充道:“您觉得这个推导过程对吗?”
老师想了半天,这才恍然大悟:“原来你用的是反证法……”
夏影飞挠挠头:“什么是反证法?”
老师笑道:“反证法就像你这样,想证明两个数相等时,可以不直接证明相等,只要从反面证明不是小于和大于就可以了。”
夏影飞连忙点头:“对对对,我已经证明了0.9循环不可能小于1,所以只剩大于和等于。而大于明显更不对,所以只剩下等于。”
“怎么说呢……”老师思索道:“你的证明方法虽然我没见过,但推导过程大致正确,而且比极限和级数好理解多了。”
夏影飞喜道:“这么说我答对了?”
老师笑道:“嗯,0.9循环的确等于1。”
“耶!”夏影飞兴奋地挥了一下拳头。
球魂注意到一件事:同样是笑,这次老师的眼角眯成了一条缝,看上去很温暖。
…………
…………
课间休息时,很多同学都凑到夏影飞身边,询问他是怎么想出来反证法的。球魂则不时插入心声,试图在不被发现的情况下,逐渐影响夏影飞的行为。
在这些同学中,有个女孩吸引了球魂的注意,因为她长得特别漂亮,大眼睛忽闪忽闪,笑容甜美可人,正如她的名字“唐糖”。
当然,唐糖是不是女孩,这件事球魂并不关心,他只是对一切美好的事物感兴趣,比如强壮、勇敢、动听、漂亮、精致、快速、大气、辉煌……
除了漂亮之外,还有个原因让球魂对她感兴趣:她虽然挤在人群靠后的地方,但一直用崇拜的目光望着夏影飞,听他口沫横飞地侃大山。
只听夏影飞道:“反证法用处可大了,除了我刚才说的那些,还能证明地球是圆的。你们想啊,地球的形状只有两种可能,方形和圆形,因为不好证明地球是圆形,那我们就先假设地球是个方块。如果地球是方块,那肯定有8个顶点,那世界上肯定有八座特别高的山峰,但实际上呢?”
卖了个关子之后,夏影飞才得意洋洋道:“实际上地球的山峰都很矮,最高才8848米……”
有个名叫墨墨同学点头道:“我知道,珠穆朗玛山!”
夏影飞高傲道:“错,珠穆朗玛峰,不是珠穆朗玛山。”
墨墨知道自己口误,只好打着哈哈笑道:“山和峰差不多嘛……”他和夏影飞平时关系不错,所以说完后就来搂夏影飞,估计是想掩饰尴尬。
但夏影飞推开了他的手,还毫不留情鄙视道:“峰是峰,山是山,峰是山的一部分,这俩区别大了。”然后他又补了一句:“你连这都不知道吗?”
大度,我应该对朋友大度!听到这里,球魂连忙发出心声。
夏影飞是个争强好胜的孩子,这原本是种很好性格,但他毕竟年幼,还没学会大是大非的争强,也没学会心服口服的取胜,反而经常在鸡毛蒜皮上争强好胜,喜欢在口舌表面讨个便宜。
比如这次。
墨墨这次的确口误了,但并不是什么原则性错误,完全可以给他一个台阶下,但夏影飞抓住这个小辫子不放,这很容易让他恼怒成羞!
球魂知道,墨墨经常和夏影飞一起玩,属于关系较好的朋友。如果夏影飞连朋友都轻易得罪,恐怕对陌生人会更刻薄。
况且墨墨是出了名的人缘好!
做朋友多好,何必闹别扭呢?
所以球魂连忙发出心声——大度,我应该对朋友大度!
夏影飞以为这是自己的潜意识,心里转念一想:对啊,朋友之间应该宽容,我好像真的过分了。
嗯,去道个歉吧。
但他刚想开口,就见墨墨气呼呼地一转身,头也不回的走了。
“玩不起别玩!”夏影飞也生气了,扭头不理墨墨。他是这样想的:自己都打算道歉了,墨墨居然还离开,真是个小气的家伙。
球魂很着急,他想帮夏影飞挽回墨墨,所以连忙发出心声:赶紧追上去道歉,否则我要失去这个朋友了。
夏影飞很不爽,在心里追问球魂——他以为在追问自己:墨墨是个小气鬼,我凭什么追他?
球魂发出心声:因为我还没道歉,墨墨也不知道我想道歉,所以他离开不算小气。
道理夏影飞都懂,但他很要面子,此刻让他追墨墨是不可能的,所以他心里坚决道:不追,我又不缺他一个朋友。
球魂强硬道:必须追!
咦?夏影飞猛然警醒:我的潜意识也太奇怪了吧,这种口气……根本是跟我对着干嘛!
自己跟自己对着干?好像以前没发生过这种事啊!
奇怪,简直太奇怪了!
现在是复习时间吗?夏影飞心里喜滋滋:这种简单的等式难不倒我,早八百年就学过了!
只见老师微微一笑,对孩子和蔼道:“大家谁知道,这个等式对不对?”
也许是为了弥补之前走神的愧疚,夏影飞高高举起手。获得老师的允许后,他站起身来,面带不屑道:“这也太简单了吧,答案当然是——对!”
球魂心里一紧,他觉得夏影飞太急于表现自己,导致态度有些傲慢,这恐怕会引起老师的不悦,也会让其他同学觉得盛气凌人。
“回答正确,请坐。”老师笑道,并未生气,只是眼角平淡如水。
球魂虽然看到老师笑了,但总觉得哪里不对劲。
老师又问其他同学:“谁能告诉我,1/3用小数怎么表示?”
这问题对夏影飞毫无难度,所以他继续举手,但老师这次没叫他,而是让另一个女同学回答。
女同学认真道:“0.3循环。”
老师又问:“那3个0.3循环相加等于多少?”
女同学不假思索:“0.9循环。”
“回答正确。”老师示意她坐下,然后古怪一笑:“接下来,就是有趣的地方了。”
老师一边说,一边把等式改成“1/3 1/3 3/1=0.3循环 0.3循环 0.3循环=0.9循环=1”。
她还没说话,聪明的孩子就已经发出了惊异之声。
老师环视众人,在“0.9循环=1”下面重重地划了道横线:“谁能告诉我,这个等式对不对?”
球魂糊涂了:0.9循环应该比1小啊,所以等式不对。但整个计算过程看上去又没错,所以0.9循环貌似又应该等于1,这样说来等式又是对的。
这这这……这也太奇怪了吧!
夏影飞同样糊涂,他一边盯着黑板,一边默默念叨:系统出bug了吧,我果然是在虚拟世界里……
面对一群懵逼的孩子,老师连忙解释:“今天我摆出这道题,只是想拓展一下大家的思路,考试中并不会出现。事实上,用极限和级数的知识才能解决这个看似简单的问题,但你们还没学过那些知识,所以无从着手……”
经过老师的提醒,数学课代表似乎想起了什么,只见他举起了手。
在老师的允许下,课代表站了起来,自信满满道:“补习班教过极限,我记得0.9循环无限逼近1,但并不等于1,所以等式是错的。”
老师不置可否,只是指着黑板上的等式:“0.9循环无限逼近1,但并不等于1,你的这句话只是结论,并不是推导过程。只有推导过程严密,结论才有说服力,你能再细化一下推导过程吗?”
课代表挠挠头:“推导过程……”然后他摊摊手:“我不会。”
老师示意他座下,之后对众人道:“大家可以踊跃发言拓展思路,错了不要紧。”
受到鼓励,孩子们都纷纷举手,无一例外都认为0.9循环小于1,但又无法做出合理的解释,更不能细化推导过程。
球魂也在思考,但他思考的是老师之前的那句话“推导过程严密,结论才有说服力”。
貌似,这句话可以扩展到任意事情上!
结论相当于任何一个大目标,推导过程就是达到大目标的小步骤。
把一个复杂的大目标分解成多个小步骤,直到每个小步骤都很简单。如此一来,只要保证每个小步骤都正确,就一定可以实现大目标,而实现小步骤要简单得多!
换句话说,任意复杂目标都是可以实现的,只要学会分解!
怪不得有句古话:“世上无难事,只怕有心人”!
这句话简直是真理好吧!
球魂兴奋不已,几乎没注意夏影飞的心理活动。
夏影飞也在认真思考:推导过程严密,结论才有说服力,现在从左到右的等式相当于推导——虽然不是老师要的过程。这个过程很严密,所以结论肯定是对的,所以0.9循环肯定等于1!
但……0.9循环为什么会等于1呢?
看上去不等啊!
也许是因为直觉上不等,但实际上相等?
人的直觉有可能出错吗?
喂喂喂……我才11岁啊,怎么可能知道这种复杂的事情啊!
哎呀又想偏了……回来回来!回到这道题上来!
0.9循环=1……
让我想想,假设0.9循环小于1,那会发生什么情况呢……
咦!
咦咦咦咦!
夏影飞兴奋地举起了手。
老师让他起来回答,虽然笑着,但并未抱太大希望。
夏影飞兴奋道:“老师,如果0.9循环小于1的话,那就说明这两个数之间可以插入一个中间值,对不对?”
老师愣了一下,才斟字酌句道:“在有理数体系下的话……嗯,你说的没错。”
比如0.9和1之间可以插入0.91或0.99,而0.99和1之间有0.999,继续下去的话,可以发现0.999和1之间有0.9999,可以无限找下去。
只要是两个不同的有理数,就一定能找到中间值,使之介于两个数之间!
如果0.9循环小于1,那就说明0.9循环和1是两个不同的数,那就说明0.9循环和1之间可以插入一个中间值——这是个很严密的推导过程!
听到老师肯定的回答,夏影飞得意道:“既然您说有中间值,那有本事您找一个呀!”
孩子们大笑起来,老师的表情也有点尴尬,幸亏她早已领教过夏影飞的套路,所以并未生气。
礼貌!礼貌!我的礼貌!球魂连忙提醒他,当然是以心声的形式提醒。为了混淆身份,他还特意用了“我”这个词。
夏影飞心里一紧,连忙改口道:“对不起老师我有点不礼貌,呃……我的意思是假设0.9循环小于1,那就一定可以找到两者之间的中间值。”
老师多看了夏影飞一眼:“你会注意礼貌问题,说明你长大了啊……对了,你后面说什么来着?”
喂,后面才是重点好吧!夏影飞本想吐槽,但想到这种搞笑的话适合私下而不是课堂,所以连忙刹住车,又表情严肃道:“我发现0.9循环和1之间没有中间值……”
“等等!”老师皱眉道:“你说0.9循环和1之间没有中间值?让我想想啊……”
0.9循环和1之间有中间值吗?嗯,好像真没有!老师虽然不甘心,但也只能点点头:“的确没有中间值,所以……”他似乎想起了什么:“0.9循环和1之间没有中间值,那就说明这两个数相等!”
“对!”夏影飞道:“任意两个数的关系,只可能有三种:大于、小于、等于。如果0.9循环比1小,那就应该有个中间值,现在没有中间值,那就说明0.9循环不会比1小,也就说明0.9循环要么等于1,要么大于1。”
夏影飞想了想,又彬彬有礼补充道:“您觉得这个推导过程对吗?”
老师想了半天,这才恍然大悟:“原来你用的是反证法……”
夏影飞挠挠头:“什么是反证法?”
老师笑道:“反证法就像你这样,想证明两个数相等时,可以不直接证明相等,只要从反面证明不是小于和大于就可以了。”
夏影飞连忙点头:“对对对,我已经证明了0.9循环不可能小于1,所以只剩大于和等于。而大于明显更不对,所以只剩下等于。”
“怎么说呢……”老师思索道:“你的证明方法虽然我没见过,但推导过程大致正确,而且比极限和级数好理解多了。”
夏影飞喜道:“这么说我答对了?”
老师笑道:“嗯,0.9循环的确等于1。”
“耶!”夏影飞兴奋地挥了一下拳头。
球魂注意到一件事:同样是笑,这次老师的眼角眯成了一条缝,看上去很温暖。
…………
…………
课间休息时,很多同学都凑到夏影飞身边,询问他是怎么想出来反证法的。球魂则不时插入心声,试图在不被发现的情况下,逐渐影响夏影飞的行为。
在这些同学中,有个女孩吸引了球魂的注意,因为她长得特别漂亮,大眼睛忽闪忽闪,笑容甜美可人,正如她的名字“唐糖”。
当然,唐糖是不是女孩,这件事球魂并不关心,他只是对一切美好的事物感兴趣,比如强壮、勇敢、动听、漂亮、精致、快速、大气、辉煌……
除了漂亮之外,还有个原因让球魂对她感兴趣:她虽然挤在人群靠后的地方,但一直用崇拜的目光望着夏影飞,听他口沫横飞地侃大山。
只听夏影飞道:“反证法用处可大了,除了我刚才说的那些,还能证明地球是圆的。你们想啊,地球的形状只有两种可能,方形和圆形,因为不好证明地球是圆形,那我们就先假设地球是个方块。如果地球是方块,那肯定有8个顶点,那世界上肯定有八座特别高的山峰,但实际上呢?”
卖了个关子之后,夏影飞才得意洋洋道:“实际上地球的山峰都很矮,最高才8848米……”
有个名叫墨墨同学点头道:“我知道,珠穆朗玛山!”
夏影飞高傲道:“错,珠穆朗玛峰,不是珠穆朗玛山。”
墨墨知道自己口误,只好打着哈哈笑道:“山和峰差不多嘛……”他和夏影飞平时关系不错,所以说完后就来搂夏影飞,估计是想掩饰尴尬。
但夏影飞推开了他的手,还毫不留情鄙视道:“峰是峰,山是山,峰是山的一部分,这俩区别大了。”然后他又补了一句:“你连这都不知道吗?”
大度,我应该对朋友大度!听到这里,球魂连忙发出心声。
夏影飞是个争强好胜的孩子,这原本是种很好性格,但他毕竟年幼,还没学会大是大非的争强,也没学会心服口服的取胜,反而经常在鸡毛蒜皮上争强好胜,喜欢在口舌表面讨个便宜。
比如这次。
墨墨这次的确口误了,但并不是什么原则性错误,完全可以给他一个台阶下,但夏影飞抓住这个小辫子不放,这很容易让他恼怒成羞!
球魂知道,墨墨经常和夏影飞一起玩,属于关系较好的朋友。如果夏影飞连朋友都轻易得罪,恐怕对陌生人会更刻薄。
况且墨墨是出了名的人缘好!
做朋友多好,何必闹别扭呢?
所以球魂连忙发出心声——大度,我应该对朋友大度!
夏影飞以为这是自己的潜意识,心里转念一想:对啊,朋友之间应该宽容,我好像真的过分了。
嗯,去道个歉吧。
但他刚想开口,就见墨墨气呼呼地一转身,头也不回的走了。
“玩不起别玩!”夏影飞也生气了,扭头不理墨墨。他是这样想的:自己都打算道歉了,墨墨居然还离开,真是个小气的家伙。
球魂很着急,他想帮夏影飞挽回墨墨,所以连忙发出心声:赶紧追上去道歉,否则我要失去这个朋友了。
夏影飞很不爽,在心里追问球魂——他以为在追问自己:墨墨是个小气鬼,我凭什么追他?
球魂发出心声:因为我还没道歉,墨墨也不知道我想道歉,所以他离开不算小气。
道理夏影飞都懂,但他很要面子,此刻让他追墨墨是不可能的,所以他心里坚决道:不追,我又不缺他一个朋友。
球魂强硬道:必须追!
咦?夏影飞猛然警醒:我的潜意识也太奇怪了吧,这种口气……根本是跟我对着干嘛!
自己跟自己对着干?好像以前没发生过这种事啊!
奇怪,简直太奇怪了!